ધારો કે $\vec \alpha = 3\hat i + \hat j$ અને $\vec \beta = 2\hat i - \hat j + 3\hat k.$ જો $\vec \beta = \vec \beta _1 - \vec \beta _2,$ જ્યાં $\vec \beta _1$ એ $\vec \alpha$ ને સમાંતર છે અને $\vec \beta _2$ એ $\vec \alpha$ ને લંબ છે,તો $\vec \beta _1 \times \vec \beta _2$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $p, q, r$ સમાન માન ધરાવતા ત્રણ પરસ્પર લંબ સદિશો છે. જો સદિશ $x$ એ સમીકરણ $p \times \{(x - q) \times p\} + q \times \{(x - r) \times q\} + r \times \{(x - p) \times r\} = 0$ નું સમાધાન કરે,તો $x$ શું થાય?

$a, b, c, d$ એ સમતલીય સદિશો છે,તો $(a \times b) \times (c \times d)$ ની કિંમત શું થાય?

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ સદિશો એવા હોય કે જેથી $a \times b = c$,$b \times c = a$ અને $a, b, c$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય,તો $|b|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $QR, RP, PQ$ ની દિશામાં ત્રણ એકમ સદિશો છે.
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ શોધો.
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ જો ત્રિકોણ $PQR$ બદલાતો હોય,તો $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ અને $(2)$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે અને $\alpha \beta=-6$ છે. ધારો કે જે ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta)$ માટે વિકર્ણો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{b}+\vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{21}}{2}$ હોય,તે $(\alpha_1, \beta_1)$ અને $(\alpha_2, \beta_2)$ છે. તો $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ ની કિંમત શોધો.